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隨著時間推移使用多種方法、回歸和尺度不變性的冪律指數穩定性。

我非常強調冪律不是某些偽分析家聲稱的曲線擬合練習。它是關於比特幣的標度律和行為一致性。
什麼是標度？
在物理學中，標度意味著系統在按任何因子放大或縮小時看起來是相同的——統計上或結構上。更準確地說，如果將自變數乘以任何常數λ會使因變數按λ的可預測冪變化，且沒有首選標度打破對稱性，則關係是尺度不變的。
形式上：函數f(x)遵循標度，如果
f(λx) = λ^β · f(x)對所有λ成立
唯一對所有λ都滿足此條件的函數是冪律：f(x) = C · x^β。所以冪律和標度不僅相關——它們是同一個陈述。冪律是一個標度律，指數β是標度指數。
如果你不理解這個概念，甚至不要使用冪律這個詞。
比特幣是否遵循上述規律？我們能直接測試嗎？是的，比特幣通過了優異的考驗。
我們甚至嘗試不同的β，看是否存在某個β能將標度方程左右兩邊的差異減少到最小(在比特幣歷史的許多時期內)。
注意這個最優參數在λ的許多值上給出了完全平坦的零差異，揭示冪律在時間上已經並且持續成立。
你只需要知道你在做什麼。

義大利喜劇演員的精彩評論，詢問伊朗神權統治和美國神權統治之間的真正區別(對我們來說這是一個超級奇怪的場景)。「世界在競爭誰的上帝最長」。發揮你的想像力，理解這裡的弦外之音。

警告：下面的圖表看起來像金字塔，但我們剛剛發表了一篇文章解釋比特幣不是龐氏騙局。它只是展示網絡如何增長，這類似於受限的指數增長。
冪律採用比指數(S曲線)採用更具可持續性。
有什麼區別？
指數增長的運作方式如下。想象一種每五分鐘翻倍的細菌。你從一個細菌開始。五分鐘後有兩個。十分鐘後有四個，然後八個、十六個，等等。指數增長的關鍵特徵是增長率在時間上保持不變。
現在想象這些細菌生活在一個資源有限的密閉容器中。假設細菌填滿容器的一半需要三天。填滿剩下的一半需要多長時間？
只需五分鐘。
這就是指數增長的悖論。在很長一段時間內，一切似乎都可以控制，然後系統突然耗盡資源。一旦容器滿了，細菌就沒有食物，菌落就會崩潰。該系統沒有以可持續的方式分配資源。
許多遵循指數增長的過程表現就是這樣：它們增長極快，然後崩潰。
幸運的是，比特幣不遵循這種模式。它的採用遵循更接近冪律的過程。
冪律仍然允許增長取決於系統中已有的人數，但它包含一個與1/t成正比的自然抑制因子，其中t是系統的年齡。隨著系統老化，增長逐漸放緩。
簡化形式下，比特幣採用者數量的變化可以寫為
dN/dt = 3N / t
其中
N是使用比特幣的人數
t是比特幣的年齡(例如以天為單位)
這個方程意味著採用仍然受益於網絡效應——更多用戶吸引更多用戶——但隨著系統成熟，增長率逐漸降低。
讓我們用一個簡單的例子來說明這一點。
以中本聰作為第一個用戶

這個版本的冪律是免費在線提供的。評論中有鏈接。

你可以使用比特幣增長的斜率来建立隐马尔可夫模型(HMM)，以識別和預測三種狀態：看漲、轉變和看跌。在初步測試中，這種方法可以以約90%的準確率對狀態進行分類。
以下是一個Veritasium視頻的鏈接，解釋隐馬爾可夫模型如何工作，以及為什麼它們是預測問題的強大工具。
隐馬爾可夫模型在量化金融中被廣泛使用；值得注意的是，據報導，這種技術的變體曾被吉姆·西蒙斯的獎章基金採用，該基金是歷史上最成功的交易策略之一。

來參觀我們的比特幣物理展。
5分鐘後在X、YouTube和Twitch開始。
今晚有很多內容要涵蓋，包括3D冪律和擴展測試。