ここで「canonical」は、二進数体における要素の唯一で直接的な表現方法を指します。たとえば、最も基本的な二進数体F2では、任意のkビットの文字列は直接kビットの二進数体要素にマッピングできます。これは素数体とは異なり、素数体は指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供できません。32ビットの素数体は32ビット内に含めることができますが、すべての32ビットの文字列が唯一の域要素に対応できるわけではなく、二進数体はこの一対一のマッピングの利便性を持っています。素数体Fpにおいて、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、及びMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊還元方法が含まれます。二進数体F2kにおいて、一般的に使用される還元方法には、AESで使用される特別な還元###、POLYVALで使用されるMontgomery還元(、及びTower)のような再帰的還元(が含まれます。論文「Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations」では、二進数体は加算および乗算の操作においてキャリーを導入する必要がなく、二進数体の平方演算は非常に効率的であることが指摘されています。なぜなら、それは)X + Y (2 = X2 + Y 2の簡略化された規則に従っているからです。
図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、二進法の文脈でさまざまに解釈することができます。これは、128ビットの二進法域の一意な要素として見ることができるほか、2つの64ビットタワー域要素、4つの32ビットタワー域要素、16の8ビットタワー域要素、または128のF2域要素として解析することもできます。この表現の柔軟性は、計算コストを必要とせず、ビット文字列の型変換)typecast(であるため、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さな域要素は、追加の計算コストなしにより大きな域要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルはこの特性を利用して計算効率を向上させます。さらに、論文「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」では、nビットのタワー型二進法域において)、mビットの部分域(に分解して乗算、平方、逆演算の計算複雑度を考察しています。
Biniusプロトコル解析:バイナリドメインでのSTARKの効率的な実装
Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析
1 はじめに
STARKsの効率が低下する主な理由は、実際のプログラムにおける大多数の数値が小さいことです。例えば、forループのインデックス、真偽値、カウンターなどです。しかし、Merkle木証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張する際、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めてしまいます。たとえ元の値自体が非常に小さくてもです。この問題を解決するために、領域のサイズを小さくすることが重要な戦略となりました。
第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースが存在します。それに比べて、バイナリフィールドはビットに対して直接操作を行うことができ、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースはありません。つまり、これは第4世代STARKsです。
Goldilocks、BabyBear、Mersenne31などの近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進数体の研究は1980年代まで遡ることができます。現在、二進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例には次のものがあります:
F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。
F2128ドメインに基づくガロアメッセージ認証コード(GMAC)。
QRコード、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用;
原始FRIとzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰的なハッシュアルゴリズムに非常に適しています。
より小さな体を採用する場合、拡張体操作は安全性を確保するためにますます重要になります。Biniusが使用する二進体は、その安全性と実際の有用性を保証するために完全に拡張体に依存する必要があります。ほとんどのProver計算で関与する多項式は拡張体に入る必要がなく、基本体の下で操作するだけで、小さな体内で高効率を実現します。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深入りする必要があります。
バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際、2つの実際の問題が存在します：STARKsにおいてトレース表現を計算する際に使用するフィールドのサイズは多項式の次数よりも大きくなければならず；STARKsにおいてMerkleツリーをコミットする際にはReed-Solomon符号化を行う必要があり、使用するフィールドのサイズは符号化拡張後のサイズよりも大きくなければなりません。
Biniusは、この二つの問題をそれぞれ処理する革新的な解決策を提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することで実現しました: まず、(の多変数多項式を単変数多項式の代わりに使用し、"超立方体")hypercubes(上でのその値を通じて全計算軌跡を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことができませんが、超立方体を方形)square(として見ることができ、その方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しつつ、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。
2 原理分析
現在ほとんどのSNARKsシステムの構築は通常以下の2つの部分を含みます:
情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明)Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP(:PIOPは証明システムのコアとして、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が多項式を段階的に送信することを可能にし、検証者が少量の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式式の処理方法が異なり、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。
多項式コミットメントスキーム)Polynomial Commitment Scheme, PCS(:多項式コミットメントスキームは、PIOPによって生成された多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールであり、これを通じて、証明者はある多項式にコミットし、その後でその多項式の評価結果を検証することができ、同時に多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームには、KZG、Bulletproofs、FRI)Fast Reed-Solomon IOPP(、Brakedownなどがあります。異なるPCSは、異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。
具体的なニーズに応じて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線を組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば:
• Halo2: PLONK PIOP と Bulletproofs PCS を組み合わせ、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 の設計では、スケーラビリティと ZCash プロトコルの trusted setup の削除に重点を置いています。
• Plonky2: PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されるPIOPとPCSは、使用する有限体または楕円曲線と一致する必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、システムが信頼できる設定なしで透明性を実現できるかどうか、再帰的証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。
Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず、バイナリfields)のタワーバイナリドメイン(towersに基づく演算がその計算の基礎を形成し、バイナリドメインでの簡略化された操作を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracleプルーフプロトコル)PIOP(で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保します。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルは、スモールフィールド多項式コミットメントスキーム)スモールフィールドPCS(を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、通常、大規模ドメインに関連するオーバーヘッドを削減することができます。
) 2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術
タワー型二進法体は、高速で検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に2つの要因によるものです: 効率的な計算と効率的な算術化です。二進法体は本質的に非常に効率的な算術操作をサポートしており、パフォーマンスに敏感な暗号アプリケーションにとって理想的な選択肢となっています。さらに、二進法体の構造は、二進法体上で実行される演算をコンパクトかつ検証しやすい代数形式で表現できる簡略化された算術化プロセスをサポートしています。これらの特性に加えて、タワー構造を通じてその階層的な特性を最大限に活用できることから、二進法体はBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適しています。
ここで「canonical」は、二進数体における要素の唯一で直接的な表現方法を指します。たとえば、最も基本的な二進数体F2では、任意のkビットの文字列は直接kビットの二進数体要素にマッピングできます。これは素数体とは異なり、素数体は指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供できません。32ビットの素数体は32ビット内に含めることができますが、すべての32ビットの文字列が唯一の域要素に対応できるわけではなく、二進数体はこの一対一のマッピングの利便性を持っています。素数体Fpにおいて、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、及びMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊還元方法が含まれます。二進数体F2kにおいて、一般的に使用される還元方法には、AESで使用される特別な還元###、POLYVALで使用されるMontgomery還元(、及びTower)のような再帰的還元(が含まれます。論文「Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations」では、二進数体は加算および乗算の操作においてキャリーを導入する必要がなく、二進数体の平方演算は非常に効率的であることが指摘されています。なぜなら、それは)X + Y (2 = X2 + Y 2の簡略化された規則に従っているからです。
図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、二進法の文脈でさまざまに解釈することができます。これは、128ビットの二進法域の一意な要素として見ることができるほか、2つの64ビットタワー域要素、4つの32ビットタワー域要素、16の8ビットタワー域要素、または128のF2域要素として解析することもできます。この表現の柔軟性は、計算コストを必要とせず、ビット文字列の型変換)typecast(であるため、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さな域要素は、追加の計算コストなしにより大きな域要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルはこの特性を利用して計算効率を向上させます。さらに、論文「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」では、nビットのタワー型二進法域において)、mビットの部分域(に分解して乗算、平方、逆演算の計算複雑度を考察しています。
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) 2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------
BiniusプロトコルにおけるPIOP設計はHyperPlonkに触発されており、一連のコアチェックメカニズムを採用して、多項式と多変数集合の正確性を検証するために使用されます。これらのコアチェックには次のものが含まれます:
GateCheck: 検証された秘密証人ωと公開入力xが回路計算関係C(x,ω)=0を満たすかどうかを確認し、回路が正しく動作することを保証します。
PermutationCheck:ブールハイパーキューブ上の2つの多変量多項式fとgの評価結果が順列関係であることを確認しますf###x( = 多項式変数間の配置の一貫性を確保するためのf)π(x)(。
LookupCheck: 多項式の評価が指定されたルックアップテーブル内にあるかどうかを検証します。つまり、f(Bµ) ⊆ T)Bµ(であり、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。
MultisetCheck: 2つの多変数集合が等しいかどうかを確認します。すなわち、{)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H、複数の集合間の一貫性を保証します。
ProductCheck: 有理多項式がブール超立方体上での評価がある宣言された値∏x∈Hµ f)x( = s に等しいかどうかを検出し、多項式の積の正確性を確保します。
ZeroCheck: ブール超立方体の任意の点での多変数多項式がゼロであるかどうかを検証する∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, 多項式のゼロ点分布を確保するため。
SumCheck: 複数変数の多項式の和が宣言された値∑x∈Hµ f)x( = sであるかどうかを検出します。多元多項式の評価問題を単一変数の多項式評価に変換することで、検証者の計算の複雑さを低減します。さらに、SumCheckはバッチ処理も可能にし、ランダム数を導入することで、複数の和の検証インスタンスに対する線形結合を構築します。
BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。
BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点があるにもかかわらず、以下の3つの点で改善を行っています:
ProductCheckの最適化: HyperPlonkでは、ProductCheckは、分母Uが超立方体上で常に非ゼロであり、積が特定の値に等しいことを要求します。Biniusはこの値を1に特化することで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低減します。
ゼロ除算の処理: HyperPlonkはゼロの場合を十分に処理できず、超立方体上のUが非ゼロであることを断言できませんでした; Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロであっても、BiniusのProductCheckは処理を続行でき、任意の積値への拡張を許可します。
列間のPermutationCheck: HyperPlonkにはこの機能がありません; Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の配置を処理できるようになります。
したがって、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムの改善を通じて、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式の検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの制限を解決するだけでなく、将来の二進法ドメインに基づく証明システムの基礎を築くものです。
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) 2.3 PIOP:新しいマルチラインシフト引数------ブールハイパーキューブに適用
Biniusプロトコルでは、仮想多項式の構築と処理が重要な技術の一つであり、入力ハンドルや他の仮想多項式から派生した多項式を効果的に生成および操作することができます。以下は2つの重要な方法です:
*パッキング:方法は合格です